Question

（普通班）已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
（实验班）已知函数R)．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的的切线方程；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（实验班）（Ⅰ）解：当时，．
，                                 
因为切点为（）， 则，               
所以在点（）处的曲线的切线方程为：．   
（Ⅱ）解法一：由题意得，即． 
，         
因为，所以恒成立，
故在上单调递增，                        
要使恒成立，则，解得．
解法二：             
（1）当时，在上恒成立，故在上单调递增，
即．                
（2）当时，令，对称轴，
则在上单调递增，又    
① 当，即时，在上恒成立，
所以在单调递增，
即，不合题意，舍去
②当时，， 不合题意，舍去  
综上所述：                                
20．(普通班)解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………1分
又∵的离心率为……………………………… 2分
∴，∴a=，b=2………………………… 4分
∴标准方程为………………………………………6分
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得……………………7分
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴＜0…………8分
∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分
∴＜0…………… 11分
∴k＜……… 12分
经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……13分

略