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如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点.
(Ⅰ)求证:B1C∥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A1-BD-A的大小;
(Ⅲ)求点A到平面A1BD的距离.

【答案】分析:(Ⅰ)设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1中点,由此能够证明B1C∥平面A1BD.
(Ⅱ)法一:由正三棱柱ABC-A1B1C1中D是AC的中点,知BD⊥AC,由平面AA1C1C⊥平面ABC,知BD⊥平面AA1C1C,故BD⊥A1D,∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角,由此能求出二面角A1-BD-A的大小.
(Ⅱ)法二:建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A1-BD-A的大小.
(Ⅲ)法一:由(Ⅱ)知BD⊥AC、BD⊥A1D,设点A到平面A1BD的距离为d,利用等积法能求出点A到平面A1BD的距离.
(Ⅲ)法二:由(Ⅱ)得=(1,0,0),n=(,0,1),利用向量法能求出点A到平面A1BD的距离.
解答:解:(Ⅰ)证明:设AB1与A1B相交于点P,连接PD,
则P为AB1中点,
∵D为AC中点,
∴PD∥B1C.
又∵PD?平面A1BD,
∴B1C∥平面A1BD.…(4分)
(Ⅱ)解法一:由正三棱柱ABC-A1B1C1中D是AC的中点,
知BD⊥AC,
又∵平面AA1C1C⊥平面ABC,
∴BD⊥平面AA1C1C,∴BD⊥A1D,
故∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角,
又AD⊥A1A,,AD=1,
∴∠A1DA=60°,即二面角A1-BD-A的大小为60°.…(8分)
(Ⅱ)解法二:如图建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,),
B(0,,0),B1(0,),
=(-1,,-),=(-1,0,-),
设平面A1BD的法向量为=(x,y,z),


则有,令z=1,得=(,0,1)
由题意,知=(0,0,)是平面ABD的一个法向量.
所成角为θ,
,∴
∴二面角A1-BD-A的大小是…(8分)
(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知BD⊥AC、BD⊥A1D,
设点A到平面A1BD的距离为d,


=
解得:
即点A到平面A1BD的距离为.…(12分)
(Ⅲ)解法二:由(Ⅱ)已知,
=(1,0,0),=(,0,1)

即点A到平面A1BD的距离为.…(12分)
点评:本题考查直线与平面平行、二面角、点到平面的距离的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是
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,D是AC的中点.
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