Question

已知向量

a

=(0，-1)，

b

=(

1

2

，1)，直线l经过定点A（0，3）且以

a

+2

b

为方向向量．又圆C的方程为（x-m）²+（y-2）²=4（m＞0）．
（1）求直线l的方程；
（2）当直线l被圆C截得的弦长为2

3

时，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标求出

a

+2

b

的坐标，再由A坐标，表示出直线l方程即可；
（2）由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，再由弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）∵

a

=（0，-1），

b

=（

1

2

，1），
∴

a

+2

b

=（1，1），
∵直线l经过定点A（0，3），
∴直线l的点方向式方程为

x

1

=

y-3

1

，即x-y+3=0；
（2）∵圆心（m，2）到直线x-y+3=0的距离d=

|m-2+3|

2

，r=2，弦长为2

3

，
∴（

|m-2+3|

2

）²+3=4，
解得：m=

2

-1或m=-

2

-1（舍去），
则实数m的值为

2

-1．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，平面向量的数量积运算，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握法则及定理是解本题的关键．