Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，其中，四边形ABCD为正方形，△PAD是正三角形，M是PD的中点．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）设二面角P-BC-A的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得CD⊥AD，从而AM⊥CD，由正三角形性质得AM⊥PD，由此能证明AM⊥平面PCD．
（2）作PO⊥平面ABCD，交AD于O，过O作OE⊥BC，交BC于E，连结AE，则由三垂线定理，得∠PEO=θ，由此能求出结果．

解答 （1）证明：∵四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∵AM?平面PAD，∴AM⊥CD，
∵△PAD是正三角形，M是PD中点，∴AM⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD．
（2）解：作PO⊥平面ABCD，交AD于O，过O作OE⊥BC，交BC于E，连结AE，
则由三垂线定理，得∠PEO=θ，
设AB=2，则PO=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，OE=2，PE=$\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$，
∴cosθ=$\frac{OE}{PE}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．