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17.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,其中,四边形ABCD为正方形,△PAD是正三角形,M是PD的中点.
(1)求证:AM⊥平面PCD;
(2)设二面角P-BC-A的大小为θ,求cosθ的值.

分析 (1)由已知得CD⊥AD,从而AM⊥CD,由正三角形性质得AM⊥PD,由此能证明AM⊥平面PCD.
(2)作PO⊥平面ABCD,交AD于O,过O作OE⊥BC,交BC于E,连结AE,则由三垂线定理,得∠PEO=θ,由此能求出结果.

解答 (1)证明:∵四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,
∴CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,
∵AM?平面PAD,∴AM⊥CD,
∵△PAD是正三角形,M是PD中点,∴AM⊥PD,
∵PD∩CD=D,∴AM⊥平面PCD.
(2)解:作PO⊥平面ABCD,交AD于O,过O作OE⊥BC,交BC于E,连结AE,
则由三垂线定理,得∠PEO=θ,
设AB=2,则PO=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$,OE=2,PE=$\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$,
∴cosθ=$\frac{OE}{PE}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

点评 本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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