Question

6．如图|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OA}$的夹角为30°，|$\overrightarrow{OC}$|=5，则$\overrightarrow{OC}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$．（用$\overrightarrow{OA}和\overrightarrow{OB}$表示）

Answer 1

分析 以O为直角坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系求得A，B，C的坐标，设$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，利用向量坐标运算、向量基本定理解方程即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
由$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OA}$的夹角为30°，|$\overrightarrow{OC}$|=5，可得C（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$），
|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，
可得B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（1，0），
设$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
则（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$）=m（1，0）+n（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=m-$\frac{1}{2}$n，$\frac{5}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$n．
解得n=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，m=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
故答案为：$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$．

点评 本题考查了向量坐标运算、向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．