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如图,已知⊙O1与⊙O2外切于点P,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AB与O1O2的延长线相交于点C,延长AP交⊙O2于点D,点E在AD延长线上,
(1)求证:△ABP是直角三角形;
(2)若,求的值.

【答案】分析:(1)要证明△ABP是直角三角形,可以根据切线的性质,证明∠APB=90°即可
(2)求的值,可以找到它们与已知线段的关系,通过求PB,证明△PBC∽△APC得出.
解答:(1)证明:连接PB,OA,OB,
∵AB为公切线,∴∠1=∠O1,∠2=∠PO2B
∵O1A∥O2B,∴∠O1+∠PO2B=180°,∴∠1+∠2=90°,
∴∠APB=90°,∴△ABP是直角三角形.
(2)作内公切线PH,交AB于H,则AH=PH=HB,
∴∠APB=90°,∠DPB=90°,
∴DB为⊙O直径,∴DB⊥AB于B,∴Rt△ABD中,BP为斜边AD上的高,
∴PB2=AP•DP=4×=9,∴PB=3,∵∠DBC=∠APB=90°,∠4=∠5,
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C,∴∠PBC=∠APC,
又∵∠6=∠6,∴△PBC∽△APC,∴==
又∵BP⊥AE于P,∴∠3+∠4=90°,
∵AB为公切线,∴O2B⊥AB于B,∴∠2+∠5=90°,
又∵O2P=O2B,∴∠4=∠5,∴∠2=∠3.
由(1)知△APB∽△ACE,∴∠E=∠2,∴∠3=∠E,∴PC=EC.
=
点评:本题综合考查了圆与圆的位置关系、圆心角和圆周角的关系、切线的性质、相似三角形的判定和性质等多个知识点.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•许昌二模)如图,已知⊙O1与⊙O2外切于点P,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AB与O1O2的延长线相交于点C,延长AP交⊙O2于点D,点E在AD延长线上,
(1)求证:△ABP是直角三角形;
(2)若AB•AC=AP•AE,AP=4,PD=
9
4
,求
EC
AC
的值.

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如图,已知⊙O1与⊙O2交于A、C两点,P为⊙O1上任一点,连结PA、PC并延长,分别交⊙O2于B、D.

求证:O1P⊥BD.

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科目:高中数学 来源:河南省同步题 题型:解答题

(选做题)
如图,已知⊙O1与⊙O2外切于点P,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AB与O1O2的延长线相交于点C,延长AP交⊙O2于点D,点E在AD的延长线上。
(Ⅰ)求证:△ABP是直角三角形;
(Ⅱ)若AB·AC=AP·AE,AP=4,,求的值。

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如图,已知⊙O1与⊙O2外切于点P,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AB与O1O2的延长线相交于点C,延长AP交⊙O2于点D,点E在AD延长线上,
(1)求证:△ABP是直角三角形;
(2)若,求的值.

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