Question

已知函数f（x）=1-

a

3x+1

是奇函数．
（1）求a的值，并用定义证明f（x）是R上的增函数；
（2）当x∈[-1，2]时，求函数的值域．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用奇函数的定义，化简整理可得a=2；或运用奇函数的性质：f（0）=0，可得a=2．再由单调性的定义证明f（x）是R上的增函数，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤；
（2）运用（1）的单调性，计算即可得到最值，进而得到值域．

解答： 解：（1）方法一、∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即1-

a

3-x+1

=-1+

a

3x+1

，即2=

a•3x

1+3x

+

a

1+3x

，
解得a=2，
方法二、∵函数是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即1-

a

2

=0，解得a=2．
证明：∵a=2，∴f（x）=1-

2

3x+1

．
设x₁，x₂是R上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

3x1+1

-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵x₁＜x₂，所以3x1-3x2＜0，
又1+3x1＞0，1+3x2＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．                                
（2）由（Ⅰ）知f（x）在[-1，2]上单调递增，
所以函数的最大值为f（2）=

4

5

，函数的最小值为f（-1）=-

1

2

，
∴函数的值域为[-

1

2

，

4

5

]．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及运用：求函数的值域，考查运算能力，属于基础题．