Question

已知长方体ABCD—A₁B₁C_lD₁内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA₁的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为

A．8              B．16:            C．14             D．18

 

Answer 1

【答案】

B.

【解析】

试题分析：∵长方体ABCD—A₁B₁C_lD₁内接于球O，∴球心O是A中点。

∵ABCD是边长为2的正方形，∴BD=2 ，

设BD中点为O‘，连接OO'

∴OO'⊥平面ABCD

∵E为A 的中点，

∴AE//OO'， AE=OO'

∴AO'OE为矩形

∵OA垂直平面BDE

∴OA⊥EO'

∴AO'OE为正方形

∴AO= AO'=2

即球O的半径R=2

∴球O面积4πR²=16π，故选B。

考点：本题主要考查立体几何平行关系、垂直关系、长方体、球的几何特征，球的表面积计算。

点评：中档题，首先认定球心O是A中点，围绕球半径的计算，构造出现直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解。