Question

5．设抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A（4，0），线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p的值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线的定义可得BM=BF，又AM⊥MF，根据直角三角形斜边的中点是外心，可得故B为线段AF的中点，求出B的坐标代入抛物线方程求得p值．

解答 解：由抛物线的定义可得BM=BF，F（0.$\frac{p}{2}$），
又AM⊥MF，故B为线段AF的中点，
∴B（2，$\frac{p}{4}$），
把B代入抛物线x²=2py（p＞0）得，4=2p×$\frac{p}{4}$，
∴p=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断B为线段AF的中点，是解题的关键，属于中档题．