Question

如图：已知BB₁，CC₁是Rt△ABC所在平面同侧的两条相等的斜线段，它们与平面ABC所成的角均为60^°，且BB₁∥CC₁，线段BB₁的端点B₁在平面ABC的射影M恰是BC的中点，已知BC=2，∠ACB=90°
①求异面直线AB₁与BC₁所成的角．
②若二面角A-BB₁-C的大小为30°，求三棱锥C₁-ABC的体积．
③在②的条件下，求直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角正切值．

Answer 1

分析：（1）观察图形，易得AC⊥平面B₁BCC₁，又∵BC₁⊥AB₁，∴AB₁与BC₁成90⁰的角．
（2）根据二面角的大小，将其转化成对应的平面角，进而可知：AC=1，则体积也可以求得了．
（3）本题递进式的，在②的条件下，直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角即为∠AB₁C．

解答：解：（1）AC⊥平面B₁BCC₁，
由于四边形BCC₁B₁为菱形∴BC₁⊥B₁C∴BC₁⊥AB₁
∴AB₁与BC₁成90⁰的角
（2）取BB₁的中点D，连CD，则CD⊥BB₁
∴AD⊥BB₁∴∠ADC为二面角A-BB₁-C的平面角即∠ADC=30°
∴AC=1∴VC1-ABC=VA-BCC1=

1

3

S△BCC1•AC=

3

3

（3）∠AB₁C为直线AB₁与平面BCC₁B₁所成的角，其正切值为

1

2

点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．