Question

已知函数y=lg（ax²+2ax+1）：
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数的定义域为R，可得ax²+2ax+1＞0恒成立．当a=0时，显然成立，当a≠0时，应有a＞0且△=4a²-4a＜0，由此求得a的取值范围．
（2）若函数的值域为R，则ax²+2ax+1能取遍所有的正整数，故有 a＞0且△=4a²-4a≥0，由此求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数的定义域为R，∴ax²+2ax+1＞0恒成立．当a=0时，显然成立．
当a≠0时，应有a＞0且△=4a²-4a＜0，解得 a＜1．
故a的取值范围为[0，1）．
（2）若函数的值域为R，则ax²+2ax+1能取遍所有的正整数，∴a＞0且△=4a²-4a≥0．
解得 a≥1，故a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．