Question

点P（x₀，y₀）是曲线C：y=

1

x

（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y周分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①PA=PB；②△OAB的面积为定值；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是

3

．

Answer 1

分析：曲线C在点P处的切线方程为

x

x02

+y-

2

x0

=0，求出A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），P（x0，

1

x0

），由此得到PA=PB，△OAB的面积S=

1

2

×2x0×

2

x0

=2；由题意知曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．

解答：解：∵y=

1

x

（x＞0），
∴y′=-

1

x2

，
∴曲线C在点P处的切线方程为：y-

1

x0

=-

1

x02

（x-x₀），
整理，得

x

x02

+y-

2

x0

=0，
∴A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），P（x0，

1

x0

），
∴PA=PB=

x02+ 1 x02

，故①正确；
∵A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），
∴△OAB的面积S=

1

2

×2x0×

2

x0

=2，故②正确；
mo=mn并且mo垂直于mn时，曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形，故③正确．
故答案为：3．

点评：本题考查反比例函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．