【题目】设函数f(x)= ,其中a∈R.
(1)若a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)的定义域为区间(0,+∞),求a的取值范围,使f(x)在定义域内是单调减函数.
【答案】
(1)解:f(x)= = =a﹣ ,
设x1,x2∈R,则f(x1)﹣f(x2)= ﹣
= .
当a=1时,f(x)=1﹣ ,设0≤x1<x2≤3,
则f(x1)﹣f(x2)= ,
又x1﹣x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[0,3]上是增函数,
∴f(x)max=f(3)=1﹣ = ,f(x)min=f(0)=1﹣ =﹣1
(2)解:设x1>x2>0,则x1﹣x2>0,x1+1>0,x2+1>0.
若使f(x)在(0,+∞)上是减函数,只要f(x1)﹣f(x2)<0,而f(x1)﹣f(x2)= ,
∴当a+1<0,即a<﹣1时,有f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2).
∴当a<﹣1时,f(x)在定义域(0,+∞)内是单调减函数
【解析】由于本题两个小题都涉及到函数的单调性的判断,故可先设x1 , x2∈R,得到f(x1)﹣f(x2)差,将其整理成几个因子的乘积(1)将a=1的值代入,判断差的符号得出函数的单调性,即可确定函数在区间[0,3]的最大值,计算出结果即可(2)由于函数是定义域(0,+∞)是减函数,设x1>x2>0,则有f(x1)﹣f(x2)<0,由此不等式即可得出参数的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和函数单调性的性质的相关知识点,需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的;函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)在区间[-1,2]上的最值;
(Ⅱ)若过点P(1,4)可作曲线y=f(x)的3条切线,求实数a的取值范围。
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【题目】2017年“十一”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速()分成六段: , , , , , ,后得到如图的频率分布直方图.
(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值;
(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在的车辆恰有一辆的概率.
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【题目】已知函数f(x)=bax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32)
(1)试求a,b的值;
(2)若不等式( )x+( )x﹣m≥0在x∈(﹣∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(, 为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)当时,求曲线上的点到直线的距离的最大值;
(Ⅱ)若曲线上的所有点都在直线的下方,求实数的取值范围.
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