Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB且AB=7，AD=3，CD=4，DE=3，若沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，则四棱锥D-ABCE的外接球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：利用平面ADE⊥平面ABCE且△ADE为直角三角形，可得四边形ABCE的外接圆的圆心即为四棱锥D-ABCE的外接球的球心，由正弦定理得四边形ABCE的外接圆的直径，即可求出四棱锥D-ABCE的外接球的体积．

解答： 解：因为平面ADE⊥平面ABCE且△ADE为直角三角形，
所以四边形ABCE的外接圆的圆心即为四棱锥D-ABCE的外接球的球心，
在△ABC中，AB=7，BC=3

2

，AC=5，∠ABC=

π

4

，
由正弦定理得四边形ABCE的外接圆的直径为

AC

sin∠ABC

=

5

sin∠ABC

=5

2

，
即得四棱锥D-ABCE的外接球的半径为

5 2

2

，其体积为

125 2

3

π．
故答案为：

125 2

3

π．

点评：本题考查四棱锥D-ABCE的外接球的体积，确定四边形ABCE的外接圆的圆心即为四棱锥D-ABCE的外接球的球心是关键．