【题目】以椭圆:的中心为圆心,为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为,左焦点为,上顶点为,且满足,.
(1)求椭圆及其“准圆”的方程;
(2)若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点,试证明:当时,弦的长为定值.
【答案】(1),;(2)证明见解析
【解析】
(1)根据求得,再结合可得以及,即可解出,从而求出椭圆及其“准圆”的方程;
(2)先由弦轴时,求出原点到弦的距离,然后再证明弦不垂直于轴时,原点到弦的距离也为,根据弦长公式即可得到,即弦的长为定值.
(1)设椭圆的左焦点,
由得,
又,即,
且,所以,
则所求的椭圆的方程为,
椭圆的“准圆”方程为.
(2)证明:①当弦轴时,交点关于轴对称,
又,则,
可设,得,
此时原点到弦的距离;
②当弦不垂直于轴时,设直线的方程为,
且与椭圆的交点,
联列方程组,
代入消元得:,
由,
可得,
由得,
即,所以,
此时成立,
则原点到弦的距离,
综上得,原点到弦的距离为,则,因此弦的长为定值.
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【题目】已知圆O经过椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b,)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.
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【题目】已知依次满足
(1)求点的轨迹;
(2)过点作直线交以为焦点的椭圆于两点,线段的中点到轴的距离为,且直线与点的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点的坐标为,是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆,使得该圆与直线都相切,如存在,求出点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
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【题目】边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值等于;将这个结论推广到空间是:棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于________________.(具体数值)
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(见下图).
(1)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的列联表,能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | |||
不获奖 | |||
合计 |
附表及公式:
,其中
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【题目】40名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 (保留小数点后两位数字)和众数;
(3)从成绩在的学生中任选3人,求这3人的成绩都在中的概率.
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