Question

如图，三棱锥中，底面，，，点、分别是、的中点.

（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)  略  (Ⅱ)   

解析:

：方法（一）

 (Ⅰ)由已知可得为等腰直角三角形，则．

由平面，平面，则．

又，，

则平面，由平面，得．

由中位线定理得，，于是，

又，所以平面．         

(Ⅱ)已证明平面，又平面，则．

已证明，又，则平面．

因为平面，平面，所以，．

由二面角的定义，得为二面角的平面角．

设，可求得，，

在中，可求得，在中，可求得，

在中，由余弦定理得，．则为所求．

方法（二）

如图建立空间直角坐标系，设，

可求出以下各点的坐标：

A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），

P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，1，1）

 (Ⅰ)，，

有，，

于是，，又，

则平面．       

(Ⅱ)，有，，

于是，，由二面角定义，向量与的夹角为所求．

，所以为所求．