Question

20．（a+2）（2a+b+1）⁵的展开式中a³b³的系数为80．

Answer 1

分析 （2a+b+1）⁵的展开式中，T_r+1=${∁}_{5}^{r}（2a+b）^{r}$，（r=0，1，2，3，4，5），（2a+b）^r的展开式的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}（2a）^{r-k}{b}^{k}$，对k，r分类讨论即可得出．

解答 解：（2a+b+1）⁵的展开式中，T_r+1=${∁}_{5}^{r}（2a+b）^{r}$，（r=0，1，2，3，4，5）
（2a+b）^r的展开式的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}（2a）^{r-k}{b}^{k}$，
令r-k=3，k=3，解得k=3，r=6，舍去．
令r-k=2，k=3，解得k=3，r=5．
∴（a+2）（2a+b+1）⁵的展开式中a³b³的系数为${2}^{3}{∁}_{5}^{3}$×${∁}_{5}^{5}$=80．
故答案为：80．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．