Question

19．若数列{a_n}满足$|\begin{array}{l}{a1}&{\frac{1}{2}}\\{2}&{1}\end{array}|$=1，$|\begin{array}{l}{n}&{n+1}\\{{a}_{n}}&{{a}_{n+1}}\end{array}|$=2（n∈N^*），则a_n=4n-2．

Answer 1

分析 由$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{\frac{1}{2}}\\{2}&{1}\end{array}|$=${a}_{1}-2×\frac{1}{2}$=1，可得a₁，由$|\begin{array}{l}{n}&{n+1}\\{{a}_{n}}&{{a}_{n+1}}\end{array}|$=2（n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”可得a_n+1．

解答 解：∵$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{\frac{1}{2}}\\{2}&{1}\end{array}|$=${a}_{1}-2×\frac{1}{2}$=1，∴a₁=2，
∵$|\begin{array}{l}{n}&{n+1}\\{{a}_{n}}&{{a}_{n+1}}\end{array}|$=2（n∈N^*），
∴na_n+1-（n+1）a_n=2，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$（\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}）$+$（\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}）$+$\frac{{a}_{1}}{1}$
=2$[（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$+…+$（1-\frac{1}{2}）]$+2
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$+2
=$\frac{2n}{n+1}+2$．
∴当n≥2时，a_n=2n+$\frac{2（n-1）n}{n}$=4n-2，
当n=1时也成立，
∴a_n=4n-2，
故答案为：4n-2．

点评 本题考查了行列式的性质、“裂项求和”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．