Question

已知△FOQ的面积为S，且

OF

•

FQ

=1．若

1

2

＜S＜

3

2

，则

OF

，

FQ

的夹角θ的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由向量的数量积公式得到|

FO

|与|

FQ

|的乘积，把面积转化为含有角OFQ正切的表达式，由三角形面积的范围得到角OFQ正切值的范围，从而得到答案．

解答：解：∵

OF

•

FQ

=1，
∴

FO

•

FQ

=|

FO

|•|

FQ

|cos∠OFQ=-1，
得：|

FO

|•|

FQ

|=

-1

cos∠OFQ

，
由三角形面积公式，得：S=

1

2

|

FO

|•|

FQ

|sin∠OFQ，
∴S=-

sin∠OFQ

2cos∠OFQ

=-

tan∠OFQ

2

，
∵

1

2

＜S＜

3

2

，
∴

1

2

＜-

tan∠OFQ

2

＜

3

2

，
-

3

＜tan∠OFQ＜-1，
∴120°＜∠OFQ＜135°，
而

OF

，

FQ

的夹角与∠OFQ互为补角，
∴

OF

，

FQ

夹角的取值范围是：（45°，60°）．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了平面向量的夹角、模的运算，训练了由三角函数的值求角的范围问题，是中档题．