Question

如图所示，直线AD、CD、BC两两垂直，且AD与BC不在同一平面内．已知BC=3，CD=4，AB=13，点M、N分别为线段AB、AC的中点．
（1）证明：直线BC∥平面MND；
（2）证明：平面MND⊥平面ACD；
（3）求三棱锥A-MND的体积．

Answer 1

分析：（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BDM中三条已知直线与PC都不平行，故我们要考虑在平面BDM中做一条与PC可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）要求三棱锥的体积，只要求出底面的面积，及对应的高代入棱锥体积公式，即可求解．

解答：证明：（Ⅰ）∵M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN∥BC
又∵MN?平面MND，BC?平面MND，
∴BC∥平面MND，

（Ⅱ）∵BC⊥CD，BC⊥AD，CD∩AD=D，
∴BC⊥面ACD，
又∵MN∥BC
∴MN⊥平面ACD，
又∵MN?平面MND，
平面MND⊥平面ACD

（Ⅲ）V_A-MND=V_M-AND
∵MN⊥平面ACD（已证），
∴MN是三棱锥M-AND的高，
在Rt△BCD中，
BD=

BD2+CD2

=

32+42

=5，
在Rt△ADB中，
AD=

AB2-BD2

=

132-52

=12
∵N是AC的中点，AD⊥CD，
∴S△AND=

1

2

S_△ACD═

1

4

CD•AD=

1

4

×4×12=12
∴V_A-MND=V_M-AND=

1

3

S_△AND•MN=

1

3

×12×

3

2

=6．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．