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精英家教网如图所示,直线AD、CD、BC两两垂直,且AD与BC不在同一平面内.已知BC=3,CD=4,AB=13,点M、N分别为线段AB、AC的中点.
(1)证明:直线BC∥平面MND;
(2)证明:平面MND⊥平面ACD;
(3)求三棱锥A-MND的体积.
分析:(1)要证明线面平行,关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线,观察到平面BDM中三条已知直线与PC都不平行,故我们要考虑在平面BDM中做一条与PC可能平行直线辅助线,然后再进行证明.
(2)要求二面角的余弦,要先构造出二面角的平面角,然后利用解三角形的方法,求出这个平面角的余弦值,进而给出二面角的余弦值.
(3)要求三棱锥的体积,只要求出底面的面积,及对应的高代入棱锥体积公式,即可求解.
解答:证明:(Ⅰ)∵M、N分别是AB与AC的中点,
∴MN∥BC
又∵MN?平面MND,BC?平面MND,
∴BC∥平面MND,精英家教网

(Ⅱ)∵BC⊥CD,BC⊥AD,CD∩AD=D,
∴BC⊥面ACD,
又∵MN∥BC
∴MN⊥平面ACD,
又∵MN?平面MND,
平面MND⊥平面ACD

(Ⅲ)VA-MND=VM-AND
∵MN⊥平面ACD(已证),
∴MN是三棱锥M-AND的高,
在Rt△BCD中,
BD=
BD2+CD2
=
32+42
=5,
在Rt△ADB中,
AD=
AB2-BD2
=
132-52
=12
∵N是AC的中点,AD⊥CD,
∴S△AND=
1
2
S△ACD
1
4
CD•AD=
1
4
×4×12=12
∴VA-MND=VM-AND=
1
3
S△AND•MN=
1
3
×12×
3
2
=6.
点评:判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点);②利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);③利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β);④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?,a∥α??a∥β).线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.本题也可以用空间向量来解决,其步骤是:建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解.
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