Question

已知函数f(x)＝－x²＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

Answer 1

(1) [2e，＋∞)   (2) (－e²＋2e＋1，＋∞)

解：(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e(x>0)，
当且仅当x＝时取等号．
∴当x＝e时，g(x)有最小值2e.
因此g(x)＝m有零点，只需m≥2e.
∴m∈[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，
则函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点．
如图所示，作出函数g(x)＝x＋ (x>0)的大致图像．

∵f(x)＝－x²＋2ex＋m－1
＝－(x－e)²＋m－1＋e²，
∴其对称轴为x＝e，f(x)_max＝m－1＋e².
若函数f(x)与g(x)的图像有两个交点，
必须有m－1＋e²>2e，即m>－e²＋2e＋1.
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，
则m的取值范围是(－e²＋2e＋1，＋∞)．