Question

设三次函数h(x)=px³+qx²+rx+s满足下列条件:h(1)=1,h(-1)= -1,在区间（-1，1）上分别取得极大值1和极小值-1，对应的极点分别为a，b。

(1)证明：a+b=0

(2)求h（x）的表达式

(3)已知三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d在（-1，1）上满足-1<f(x)<1。证明当|x|>1时，有|f(x)|<|h(x)|

Answer 1

（1）见解析（2）h(x)=4x³-3x（3）见解析

解析:

（1）解：由f(1)=1,f(-1)=-1得q+s=0,r+p=1

h(x)=px³-sx²+(1-p)x+s

h’(x)=3px²-2sx+1-p

因为（-1，1）内有两极值且f(1)=1,所以有p>0

=0(*)

又由韦达定理得，即代入(*)中得

因为p>0,a+b??（-2，2）,所以

所以有

（2）解：由得s=0，q=0

所以h(x)=px³+(1-p)x，又

消去p得所以有

所以有h(x)=4x³-3x

（3）解：因为|x|<1时|f(x)|<1,所以有|f(1)|??1,|f(-1)|??1

令F(x)=h(x)+f(x)，G(x)=h(x)-f(x)

则有F(1)=1+f(1)??0,F()=-1+f()<0,F()=1+f(-)>0,F(-1)=-1+f(-1)??0

所以有F（x）在(-1,1)内有极大值和极小值，当x>1时，F(x)>0,当x<-1时，F(x)<0

同理有：G(1)=1-f(1)??0,  G()=-1-f()<0,  G()=1-f(-)>0,

G(-1)=-1-f(-1)??0

所以有G（x）在(-1,1)内有极大值和极小值，当x>1时，G(x)>0,当x<-1时，G(x)<0

所以当|x|>1时，有F(x)G(x)>0即h²(x)>f²(x)即|h(x)|>|f(x)