【题目】连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”.假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”.证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边.
【答案】见解析
【解析】
圆周上九个点中任三点均不共线，任四点都是一凸四边形的顶点.设这九个点为
，
，…，
.显然每个
都要与其他八个点有边相连.
（1）若存在一点向其他点引出至少四条蓝边，不妨设这四条蓝边为
，
，
，
.则
，
，
，
，
，
均为红边.即存在四点，
，
，
，其中每两点连的都是红边（如图）.
（2）若每一点向其余点引出的蓝边不多于3条.这时每两点向其余点连的红边至少为5条.如果每一点都恰引出5条红边，则九个点恰引出
条红边.这不可能，因为边数必为整数.所以，必存在某个点，比如点
，到其他点连的红边至少为6条.不妨设与，，，，，
连的
，
，
，
，
，
都是红边，这时五条边，，，，
中至少有三条同色.不妨设，，同色.
①若，，同为蓝边，因，，均为红边，此时，，，四点所连六条边均为红边（如图）.
②若，，同为红边，则
三边依条件不能全是蓝边，即至少有一条红边.不妨设为红边，这时，，，四点所连的六条边均为红边（如图）.
综上所述，问题得证.
备战中考寒假系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在长方形ABCD中，AB=
,AD=2,E,F为线段AB的三等分点，G、H为线段DC的三等分点．将长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面，AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径．
（Ⅰ）证明：平面ADHF⊥平面BCHF；
（Ⅱ）若P为DC的中点，求三棱锥H—AGP的体积．
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【题目】下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若
，则
”的否命题为：“若则
”
B. 若
为真命题，
为假命题，则
均为假命题
C. 命题“若
成等比数列，则
”的逆命题为真命题
D. 命题“若
，则
”的逆否命题为真命题
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【题目】已知直线l方程为（m+2）x﹣（m+1）y﹣3m﹣7＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组 | [75，85) | [85，95) | [95，105) | [105，115) | [115，125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
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【题目】已知数列
是各项均不为
的等差数列，公差为
，
为其前
项和，且满足
，
．数列
满足
，
为数列的前n项和．
(1)求
、和；
(2)若对任意的，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
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【题目】在直角坐标平面上的一列点
简记为
，若由
构成的数列
满足
，（其中
是与
轴正方向相同的单位向量），则称为“
点列”.
（1）试判断：
，...是否为“点列”？并说明理由.
（2）若为“点列”，且点
在点
的右上方.任取其中连续三点
，判断
的形状（锐角，直角，钝角三角形），并证明.
（3）若为“点列”，正整数
满足：
，且
，求证：
.
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