Question

（2012•丰台区一模）已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+1（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a＞0，函数y=f（x）在区间（a，a ²-3）上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞2，求证：函数y=f（x）在（0，2）上恰有一个零点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，由题目条件知函数在x=1处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a的方程，可求得a的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0求出其解x=0或x=2a，根据条件a＞0，得不在区间（a，a²-3）内，利用要使函数在区间（a，a ²-3）上存在极值，建立关于a的不等式，求a的取值范围；
（Ⅲ）由（II）f'（x）=0求出其解，根据a＞2，得到f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，函数f（x）在（0，2）内单调递减，从而得出结论．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2ax，…（1分）
f'（1）=1-2a，…（2分）
因为曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行
所以1-2a=-1，…（3分）
所以a=1．                                                 …（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，…（5分）
即f'（x）=x（x-2a）=0，所以 x=0或x=2a．                …（6分）
因为a＞0，所以x=0不在区间（a，a²-3）内，
要使函数在区间（a，a ²-3）上存在极值，只需a＜2a＜a²-3．      …（7分）
所以a＞3．                                                 …（9分）
（Ⅲ）证明：令f'（x）=0，所以 x=0或x=2a．
因为a＞2，所以2a＞4，…（10分）
所以f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，函数f（x）在（0，2）内单调递减．
又因为f（0）=1＞0，f(2)=

11-12a

3

＜0，…（11分）
所以f（x）在（0，2）上恰有一个零点．                             …（13分）

点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，函数的零点，同时考查了导数的几何意义等，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．