Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．
求证：
（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；
（Ⅱ）平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，由三角形的中位线的性质可得MF∥AN，从而证明MF∥平面ABCD．
（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DANB为平行四边形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC₁A₁，从而证得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

解答：（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB₁的中点，
所以，F为C₁N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC₁的中点，
故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（Ⅱ）连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A₁A=A，
AC，A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，同时考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于中档题．