Question

已知定点，,是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是

A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．圆

Answer 1

B

试题分析：由N是圆O：x²+y²=1上任意一点，可得ON=1，且N为MF₁的中点可求MF₂，结合已知由垂直平分线的性质可得PM=PF₁，从而可得|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2为定值，由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线解：连接ON，由题意可得ON=1，且N为MF₁的中点∴MF₂=2，∵点F₁关于点N的对称点为M，线段F₁M的中垂线与直线F₂M相交于点P，由垂直平分线的性质可得PM=PF₁，∴|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2＜F₁F₂，由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线，故选：B
点评：本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型的问题，解决本题的关键是由N为圆上一点可得ON=1，结合N为MF₁的中点，由三角形中位线的性质可得MF₂=2，还要灵活应用垂直平分线的性质得到解决本题的第二个关键点|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2＜F₁F₂，从而根据圆锥曲线的定义可求解，体现了转化思想的应用．