Question

函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)=

2

x

-1．
（1）求f（-1）的值；
（2）求当x＜0时，函数的解析式；
（3）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性，把f（-1）转化成-f（1），利用函数的解析式，把x=1代入f(x)=

2

x

-1进而求得答案．
（2）设x＜0，把-x代入函数的解析式，进而利用函数的奇偶性整理求得函数在（-∞，0）上的解析式．
（3）设x₁，x₂是（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，通过比较f（x₁）和f（x₂）的大小来确定函数的在（0，+∞）上的单调性．

解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1；
（2）设x＜0，则-x＞0，所以f(-x)=

2

-x

-1，
又f（x）为奇函数，所以上式即-f(x)=

2

-x

-1，
所以f（x）=

2

x

+1；
（3）设x₁，x₂是（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(

2

x1

-1)-(

2

x   2

-1)=2（

x2-x1

x1x2

）．
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以2（

x2-x1

x1x2

）＞0，则f（x₁）＞f（x₂）
因此f(x)=

2

x

-1．是（0，+∞）上的减函数．

点评：本题主要考查了函数单调性和奇偶性的应用．在解决分段函数的问题时，一定要注意函数的定义域．