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18.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆C右焦点F作直线交椭圆C于点M,N,又直线OM交直线x=2于点T,$\overrightarrow{OT}$=2$\overrightarrow{OM}$,求线段MN的长;
(3)半径为r的圆Q以椭圆C的右顶点为圆心,若存在直线l:y=kx,使直线l与椭圆C交于A,B两点,与圆Q分别交于G、H两点,点G在线段AB上,且|AG|=|BH|,求圆O的半径r的取值范围.

分析 (1)由椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形及b2=a2-c2即可得出椭圆的标准方程;
(2)由$\overrightarrow{OT}$=2$\overrightarrow{OM}$,可得M的坐标,从而可求线段MN的长;
(3)把直线l的方程与椭圆的方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|,利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系得到|GH|,进而得出k.

解答 解:(1)∵椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形,
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{1}{2}$bc=1,b=c,
∴a=$\sqrt{2}$,b=c=1,
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1;
(2)由题意可知xM=xF=c=1,
故将xM=1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1,可得|yM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,从而|MN|=$\sqrt{2}$.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由直线l与椭圆C,消去y得到(1+2k2)x2-2=0,则x1+x2=0,x1x2=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$.
∴|AB|=$\sqrt{\frac{8(1+{k}^{2})}{1+2{k}^{2}}}$.
点Q($\sqrt{2}$,0)到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$.
则|GH|=2$\sqrt{\frac{7}{3}-\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$.
显然,若点H也在线段AB上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴,矛盾.
∵|AG|=|BH|,∴|AB|=|GH|.
∴$\sqrt{\frac{8(1+{k}^{2})}{1+2{k}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{7}{3}-\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$,
解得k2=1,即k=±1.

点评 熟练掌握椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交问题转化为把直线l的方程与曲线的方程联立得到一元二次方程、利用根与系数的关系及弦长公式、垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系是解题的关键.

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