Question

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°
（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，
所以DF⊥AC．
故由平面ABC⊥平面ACD，
知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，
AF=ADcos30°=，
在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，
由勾股定理易知BC=，AB=．
故四面体ABCD的体积V==．
（II）设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG∥AD，GH∥BC，
从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角．
设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，
又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，
所以∠DEF为二面角C-AB-D的平面角，由题设知∠DEF=60°．
设AD=a，则DF=AD•SsinCAD=，
在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，
从而GH=BC=EF=，因Rt△ADE≌Rt△BDE，
故在Rt△BDF中，FH=．
又FG=AD=，从而在△FGH中，因FG=FH，
由余弦定理得cosFGH==．
分析：（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C-AB-D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．
点评：此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．