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已知向量
a
=(sinθ,1)
b
=(-1,cosθ),
a
b
=-
2
,0<θ<π.
(Ⅰ)求θ;
(Ⅱ)求sin(
θ
2
+
π
4
)
的值.
分析:(1)根据向量
a
=(sinθ,1)
b
=(-1,cosθ),
a
b
=-
2
,我们易得到一个关于θ的三角方程,解方程可得sin(θ-
π
4
)=1
,再根据0<θ<π.易求出θ的大小;
(2)由(1)中结论,我们求出sin
θ
2
、cos
θ
2
的值,代入两角和的正弦函数公式,即可得到sin(
θ
2
+
π
4
)
的值.
解答:解:(Ⅰ)因为
a
=(sinθ,1)
b
=(-1,cosθ),
a
b
=-sinθ+cosθ=-
2
sin(θ-
π
4
)=-
2

sin(θ-
π
4
)=1

∵0<θ<π
-
π
4
<θ-
π
4
4

θ-
π
4
=
π
2

θ=
4

(Ⅱ)∵sin(
θ
2
+
π
4
)=sin
θ
2
cos
π
4
+cos
θ
2
sin
π
4
=
2
2
(sin
θ
2
+cos
θ
2
)
(sin
θ
2
+cos
θ
2
)2=sin2
θ
2
+cos2
θ
2
+2sin
θ
2
cos
θ
2
=1+sinθ

由(Ⅰ)知:
θ
2
=
8
∈[0 , 
π
2
 ]

sin
θ
2
>0 , cos
θ
2
>0

sin
θ
2
+cos
θ
2
=
1+sinθ
=
1+sin
4
=
1+
2
2

sin(
θ
2
+
π
4
)=
2
2
(sin
θ
2
+cos
θ
2
)=
2
2
×
1+
2
2
=
2+
2
2
点评:要求一个角的大小,我们需要两个条件:一是该角的一个三角函数值,二是该角的取值范围.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(sinθ,
3
)
b
=(1,cosθ)
θ∈(-
π
2
π
2
)

(1)若
a
b
,求θ;
(2)求|
a
+
b
|
的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1),
b
=(
2
,2)
f(x)=
a
b
+2

(1)求f(x)的表达式.
(2)用“五点作图法”画出函数f(x)在一个周期上的图象.
(3)写出f(x)在[-π,π]上的单调递减区间.
(4)设关于x的方程f(x)=m在x∈[-π,π]上的根为x1,x2m∈(1,
2
)
,求x1+x2的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(sinθ,-2),
b
=(1,cosθ)
,且
a
b
,则sin2θ+cos2θ的值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(sinθ,1),
b
=(1,cosθ),θ∈(-
π
2
π
2
)

(1)若
a
b
,求θ的值;
(2)若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)
,利用此结论求|
a
+
b
|的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1)
b
=(2,2)
f(x)=
a
b
+2

①用“五点法”作出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间的图象.
②求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
③求函数f(x)的最大值,并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
⑤当x∈[0,π],求函数y=2sin(x-
π
4
)
的值域
解:(1)列表
(2)作图
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