Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，当且仅当x＞4时．f（x）＞x²﹣4x+5=g（x）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数y=m与函数f（x），g（x）的图象共有3个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解答： 解：（1）因为函数在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，所以﹣1，2是函数的两个极值点，即﹣1，2是f'（x）=0的两个根，

因为f'（x）=3x²+2ax+b，所以由根与系数之间的关系得．

所以．

令，则H'（x）=3x²﹣5x﹣2=（3x+1）（x﹣2），

所以函数H（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上为增函数，在（）上为减函数，故，解得c=﹣11．

所以此时．

（2）因为，则，

故当﹣21＜m＜﹣时，直线y=m与函数f（x）的图象有3个交点，与g（x）的图象没有交点．

又g（x）=x²﹣4x+5=（x﹣2）²+1≥1，故当m＞1时，直线y=m与g（x）的图象有2个交点，与f（x）的图象有1个交点，

又f（4）=g（4）=5，故当1＜m＜5或m＞5时，直线y=m与函数f（x），g（x）的图象共有3个交点，

故实数m的取值范围．