Question

已知函数f（x）=2x+sinx+

3x-1

3x+1

（x∈R），f（x₁）+f（x₂）＞0，则下列不等式正确的是（　　）

• A、x₁＞x₂
• B、x₁＜x₂
• C、x₁+x₂＜0
• D、x₁+x₂＞0

Answer 1

考点：正弦函数的奇偶性,正弦函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：首先判断函数的奇偶性，进一步判断函数的单调性，在判断函数的单调性时分两步骤，最后对已知条件进行恒等变换f（x₁）+f（x₂）＞0，f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂），进一步利用所求出的结论求的结果．

解答： 解：（1）已知函数f（x）=2x+sinx+

3x-1

3x+1

①x∈R
②f（-x）=2（-x）+sin（-x）+

3-x-1

3-x+1

=-（2x+sinx+

3x-1

3x+1

）=-f（x）
则：函数f（x）为奇函数．
（2）令f（x）=k（x）+p（x）即k（x）=2x+sinx，p（x）=

3x-1

3x+1

①则：k′（x）=2-cosx＞0
所以：k（x）为增函数．
p（x）=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

由于3^x在x∈R为单调递增函数，进一步求得p（x）=1-

2

3x+1

也为单调递增函数．
故f（x）为单调递增函数．
∵f（x₁）+f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂）
利用函数的单调性解得：x₁＞-x₂即x₁+x₂＞0
故选：D

点评：本题考查的知识要点：函数的单调性和奇偶性的应用，利用导数判断函数的单调性，及相关的恒等变换．