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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1 (a＞b＞0)    的离心率为e=
    		3
    3
    ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；
    （Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若
    |OP|
    |OM|
    =λ    ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
    分析：（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
    （II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
    k1，k2，将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值．
    （III）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．
    解答：解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x2+y2=b2，
    ∵直线x-y+2=0与圆相切，
    ∴d=
    2
    		2
    =b    ，
    即b=
    		2
    ，
    又e=
    c
    a
    =
    		3
    3
    ，
    即a=
    		3
    c    ，
    a2=b2+c2，
    解得a=
    		3
    ，c=1，
    所以椭圆方程为
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    ．
    （Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），
    A(-
    		3
    ，0)    ，B(
    		3
    ，0)    ，
    则
    x
    2
    0
    3
    +
    y
    2
    0
    2
    =1    ，即
    y
    2
    0
    =2-
    2
    3
    x
    2
    0
    ，
    则k1=
    y0
    x0+
    		3
    ，k2=
    y0
    x0-
    		3
    ，
    即k1•k2=
    y
    2
    0
    x
    2
    0
    -3
    =
    2-
    2
    3
    x
    2
    0
    x
    2
    0
    -3
    =
    2
    3
    (3-
    x
    2
    0
    )
    x
    2
    0
    -3
    =-
    2
    3
    ，
    ∴k1•k2为定值-
    2
    3
    ．
    （Ⅲ）设M（x，y），其中x∈[-
    		3
    ，
    		3
    ]    ．
    由已知
    |OP|2
    |OM|2
    =λ2    及点P在椭圆C上可得
    x2+2-
    2
    3
    x2
    x2+y2
    =
    x2+6
    3(x2+y2)
    =λ2    ，
    整理得（3λ2-1）x2+3λ2y2=6，其中x∈[-
    		3
    ，
    		3
    ]    ．
    ①当λ=
    		3
    3
    时，化简得y2=6，
    所以点M的轨迹方程为y=±
    		6
    (-
    		3
    ≤x≤
    		3
    )    ，轨迹是两条平行于x轴的线段；
    ②当λ≠
    		3
    3
    时，方程变形为
    x2
    6
    3λ2-1
    +
    y2
    6
    3λ2
    =1    ，其中x∈[-
    		3
    ，
    		3
    ]    ，
    当0＜λ＜
    		3
    3
    时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-
    		3
    ≤x≤
    		3
    的部分；
    当
    		3
    3
    ＜λ＜1    时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-
    		3
    ≤x≤
    		3
    的部分；
    当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆
    点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的短轴长为2
    		3
    ，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
    DA
    =λ
    DB
    ，若λ∈[
    3
    8
    ，
    1
    2
    ]，求直线AB的斜率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点A（1，
    		3
    2
    ），且离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•房山区二模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的短轴长为2，离心率为
    		2
    2
    ，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
    AP+BQ
    PQ
    ，若直线l的斜率k≥
    		3
    ，则λ的取值范围为
     
    ．

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