Question

12．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的新驻点分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为γ＞α＞β．

Answer 1

分析 构造函数F（x）=f（x）-f'（x），f（x）的“新驻点”就是函数F（x）的零点，再依次确定α，β，γ的范围，从而得出α，β，γ的大小关系．

解答 解：逐个对g（x），h（x），φ（x）求“新驻点”，
①对于g（x）=x，构造G（x）=g（x）-g'（x）=x-1，依题意，
显然，函数G（x）的零点就是函数g（x）的“新驻点”，所以α=1；
②对于h（x）=ln（x+1），构造H（x）=h（x）-h'（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，
H（x）单调递增，且H（0）=-1，H（1）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，所以，H（x）的零点β∈（0，1）；
③对于φ（x）=x³-1，构造∅（x）=φ（x）-φ'（x）=x³-3x²-1，
∅（3）=-1＜0，∅（4）=15，所以，∅（x）的零点γ∈（3，4）．
综合以上分析，γ＞α＞β，
故答案为：γ＞α＞β．

点评 本题主要考查了导数及其运算，运用函数的单调性和零点存在定理确定函数零点的范围，属于中档题．