Question

已知椭圆

x 2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F₁，左焦点为F₂，若椭圆上存在一点P，满足线段PF₁相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF₁的中点，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2

  2

• D、

  5

  9

Answer 1

分析：设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF₁相切于点M，连结OM、PF₂，利用三角形中位线定理与圆的切线的性质，证出PF₁⊥PF₂且|PF₂|=2b，然后在Rt△PF₁F₂中利用勾股定理算出|PF₁|=

4c2-4b2

．根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，从而建立关于a、b、c的等式，解出b=

2

3

a，进而可得椭圆的离心率的大小．

解答：解：设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF₁相切于点M，连结OM、PF₂，
∵M、O分别为PF₁、F₁F₂的中点，
∴MO∥PF₂，且|PF₂|=2|MO|=2b，
又∵线段PF₁与圆O相切于点M，可得OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|PF₂|=2b，
∴|PF₁|=

|F 1F2|2-|PF2|2

=

4c2-4b2

，
根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴

4c2-4b2

+2b=2a，即

c2-b2

=a-b，
两边平方得：c²-b²=（a-b）²，即a²-2b²=（a-b）²，化简得2ab-3b²=0，解得b=

2

3

a，
因此，c=

a2-b2

=

5

3

a，可得椭圆的离心率e=

c

a

=

5

3

．
故选：A

点评：本题给出椭圆上一点与左焦点的连线是以短轴为直径的圆的切线，求椭圆的离心率．着重考查了三角形的中位线定理、圆的切线的性质、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．