分析:设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF
1相切于点M,连结OM、PF
2,利用三角形中位线定理与圆的切线的性质,证出PF
1⊥PF
2且|PF
2|=2b,然后在Rt△PF
1F
2中利用勾股定理算出|PF
1|=
.根据椭圆的定义,得|PF
1|+|PF
2|=2a,从而建立关于a、b、c的等式,解出b=
a,进而可得椭圆的离心率的大小.
解答:解:设
以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF
1相切于点M,连结OM、PF
2,
∵M、O分别为PF
1、F
1F
2的中点,
∴MO∥PF
2,且|PF
2|=2|MO|=2b,
又∵线段PF
1与圆O相切于点M,可得OM⊥PF
1,
∴PF
1⊥PF
2,
Rt△PF
1F
2中,|F
1F
2|=2c,|PF
2|=2b,
∴|PF
1|=
=
,
根据椭圆的定义,得|PF
1|+|PF
2|=2a,
∴
+2b=2a,即
=a-b,
两边平方得:c
2-b
2=(a-b)
2,即a
2-2b
2=(a-b)
2,化简得2ab-3b
2=0,解得b=
a,
因此,c=
=
a,可得椭圆的离心率e=
=
.
故选:A
点评:本题给出椭圆上一点与左焦点的连线是以短轴为直径的圆的切线,求椭圆的离心率.着重考查了三角形的中位线定理、圆的切线的性质、椭圆的定义与简单几何性质等知识,属于中档题.