Question

（2011•揭阳一模）已知直线l：y=x+m，m∈R．
（1）若以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；
（2）若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线C：x2=

1

m

y相切，求直线l的方程和抛物线C的方程．

Answer 1

分析：（1）解法1：确定点P的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程；
解法2：利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；
（2）解法1：设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；
解法2：利用导数求切线，从而可直线l的方程和抛物线C的方程．

解答：解：（1）解法1：依题意得点P的坐标为（-m，0）．-------（1分）
∵以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切与点P，
∴MP⊥l．kMP•kl=

0-(-1)

-m-2

•1=-1，解得m=-1．----（3分）
∴点P的坐标为（1，0）．
设所求圆的半径r，则r²=|PM|²=1+1=2，------------------------------------（5分）
∴所求圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=2．--------------------------------------（6分）
解法2：设所求圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=r²，--------------------------------（1分）
依题意知点P的坐标为（-m，0）．----------------------------------------------（2分）
∵以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切于点P（-m，0），
∴

(2+m)2+12=r2 |2+1+m| 2 =r

解得

m=-1 r= 2

-------------------------------------------（5分）
∴所求的圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=2．------------------------------------（6分）】
（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成-y，可得直线l'的方程为y=-x-m．----------------------------（7分）
由

x2= 1 m y y=-x-m

得mx²+x+m=0，（m≠0）-----------------------------------（9分）
△=1-4m²，--------------------------------------------------------------（10分）
∵直线l'与抛物线C：x2=

1

m

y相切
∴△=0，解得m=±

1

2

．----------------------------------------------------（12分）
当m=

1

2

时，直线l的方程为y=x+

1

2

，抛物线C的方程为x²=2y，-------------（13分）
当m=-

1

2

时，直线l的方程为y=x-

1

2

，抛物线C的方程为x²=-2y．----------（14分）
解法2：将直线方程y=x+m中的y换成-y，可得直线l'的方程为y=-x-m．-----（7分）
设直线l'与抛物线C：x2=

1

m

y相切的切点为（x₀，y₀），---------------------------（8分）
由y=mx²得y'=2mx，则2mx₀=-1---①-----------------------------------（10分）
y₀=-x₀-m------②y0=m

x

2 0

．---------③
①②③联立得

1

4m

=

1

2m

-m⇒m2=

1

4

⇒m=±

1

2

，----------------------------（12分）
当m=

1

2

时，直线l的方程为y=x+

1

2

，抛物线C的方程为x²=2y，-------------（13分）
当m=-

1

2

时，直线l的方程为y=x-

1

2

，抛物线C的方程为x²=-2y．----------（14分）】

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于中档题．