Question

（选修4-5：不等式选讲）
设函数f（x）=mx-2+|2x-1|．
（1）若m=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）m=2时，f（x）=2x-2+|2x-1|，分当x≥

1

2

时和当x＜

1

2

时两种情况，去掉绝对值，
求得原不等式的解集．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，分x＜

1

2

、x≥

1

2

两种情况，利用函数的单调性以及函数有最小值，
可得 

m+2≥0 m-2≤0

，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）m=2时，f（x）=2x-2+|2x-1|，
当x≥

1

2

时，f（x）≤3可化为2x-2+2x-1≤3，解之得

1

2

≤x≤

3

2

；
当x＜

1

2

时，f（x）≤3可化为2x-2+1-2x≤3，解之得x＜

1

2

．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤

3

2

}．
（Ⅱ）f（x）=mx-2+|2x-1|=

(m+2)x-3 ，x≥ 1 2 (m-2)x-1 ，x＜ 1 2

．
若函数f（x）有最小值，
则当x＜

1

2

时，函数f（x）递减，当x≥

1

2

时，函数f（x）递增，
∴

m+2≥0 m-2≤0

，即-2≤m≤2，
即实数m的取值范围是[-2，2]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的最值的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．