Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}+2x+1}+\root{3}{{x}^{2}-1}+\root{3}{{x}^{2}-2x+1}}$，求f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2k-1）+…+f（999）的值．

Answer 1

分析 由函数f（x）=$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}+2x+1}+\root{3}{{x}^{2}-1}+\root{3}{{x}^{2}-2x+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\root{3}{x+1}$-$\root{3}{x-1}$），利用裂项相消法，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}+2x+1}+\root{3}{{x}^{2}-1}+\root{3}{{x}^{2}-2x+1}}$=$\frac{\root{3}{x+1}-\root{3}{x-1}}{（\root{3}{x+1}-\root{3}{x-1}）（\root{3}{{x}^{2}+2x+1}+\root{3}{{x}^{2}-1}+\root{3}{{x}^{2}-2x+1}）}$=$\frac{\root{3}{x+1}-\root{3}{x-1}}{{\root{3}{x+1}}^{3}-{\root{3}{x-1}}^{3}}$=$\frac{\root{3}{x+1}-\root{3}{x-1}}{x+1-{（x-1）}^{\;}}$=$\frac{1}{2}$（$\root{3}{x+1}$-$\root{3}{x-1}$），
∴f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2k-1）+…+f（999）=$\frac{1}{2}$（$\root{3}{2}$-0）+$\frac{1}{2}$（$\root{3}{4}$-$\root{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$（$\root{3}{6}$-$\root{3}{4}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\root{3}{1000}$-$\root{3}{998}$）=$\frac{1}{2}$$\root{3}{1000}$=5．

点评 本题考查的知识点是函数求值，其中利用立方差公式，将函数解析式化为：f（x）=$\frac{1}{2}$（$\root{3}{x+1}$-$\root{3}{x-1}$），是解答的关键．