Question

（2013•泰安二模）某次考试中，从甲、乙两个班级各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于60分为及格．
（Ⅰ）从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，已知有人及格，求乙班学生不及格的概率；
（Ⅱ）从甲班10人中取1人，乙班10人中取2人，三人中及格人数记为ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，有人及格”记作A，事件“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，乙班学生不及格”记作B．事件A的对立事件

.

A

是“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，两人都不及格”即可得到P（A）=1-P（

.

A

）．利用积事件的概率计算公式即可得到p（AB），再利用条件概率的计算公式即可得出P（B|A）=

P(AB)

P(A)

．
（II）由题意可知ξ可取0，1，2，3．从甲班10人中取1人，乙班10人中取2人，可得：基本事件的总数为

C

1 10

•

C

2 10

．ξ=0表示的是从甲班选取的1人和从乙班选取的2人都不及格，其选法为

C

1 6

C

2 5

；ξ=1表示的是从甲班选取的1人及格但是从乙班选取的2人都不及格，或从甲班选取的1人不及格但是从乙班选取的2人中有1人及格而另一人不及格，其选法为

C

1 4

C

2 5

+

C

1 6

C

1 5

C

1 5

；ξ=2表示的是从甲班选取的1人及格且从乙班选取的2人中一人及格而另一人不及格，或从甲班选取的1人不及格但是从乙班选取的2人都及格，其选法为

C

1 4

C

1 5

C

1 5

+

C

1 6

C

2 5

；．ξ=3表示的是从甲班选取的1人和从乙班选取的2人都及格，其选法为

C

1 4

C

2 5

．利用互斥事件和古典概型的概率计算公式即可得出P（ξ=k）（k=0，1，2，3）．进而得出分布列和数学期望．

解答：解：（I）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格．
事件“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，有人及格”记作A，事件“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，乙班学生不及格”记作B．
则P（A）=1-P(

.

A

)=1-

6

10

×

5

10

=

7

10

．
P（AB）=

4

10

×

5

10

=

1

5

．
P（B|A）=

P(AB)

P(A)

=

1 5

7 10

=

2

7

．
（II）由题意可知ξ可取0，1，2，3．
P（ξ=0）=

C 1 6 • C 2 5

C 1 10 • C 2 10

=

2

15

，P（ξ=1）=

C 1 4 • C 2 5

C 1 10 • C 2 10

+

C 1 6 C 1 5 C 1 5

C 1 10 • C 2 10

=

19

45

，P（ξ=2）=

C 1 4 • C 1 5 C 1 5

C 1 10 • C 2 10

+

C 1 6 • C 2 5

C 1 10 • C 2 10

=

16

45

，P（ξ=3）=

C 1 4 • C 2 5

C 1 10 • C 2 10

=

4

45

．
可得ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	2 45	19 45	16 45	4 45

∴E（ξ）=

0+1×19+2×16+3×4

45

=

7

5

．

点评：本题考查了积事件的概率计算公式、条件概率的计算公式P（B|A）=

P(AB)

P(A)

、互斥事件和古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识与基本技能方法，属于难题．