Question

已知y=f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，都有f（x+2）=

1-f(x)

1+f(x)

，又f（1）=

1

2

，f（2）=

1

4

，则f（2010）等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：直接利用条件求出前几项，发现其规律为偶数中4的倍数对应的为

3

5

，不是4的倍数对应的值为

1

4

，即可求得结论．

解答：解：都有f（x+2）=

1-f(x)

1+f(x)

，又f（1）=

1

2

，f（2）=

1

4

，
f（4）=

3

5

，f（6）=

1

4

，（8）=

3

5

，f（10）=

1

4

…
其规律为偶数中4的倍数对应的为

3

5

，不是4的倍数对应的值为

1

4

，
而2010不能被4整除，故f（2010）=

1

4

．
故选C．

点评：本题是对抽象函数周期性的考查．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．另外，发掘函数值出现的规律也应有做够的意识．