Question

函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[1，+∞]总有f（x）≥0成立，则a的取值范围为（　　）

A．[2，+∞）

B．[4，+∞）

C．{4}

D．[2，4]

Answer 1

分析：当x=1时，f（x）=a-3+1≥0，解得a≥2．当x＞1时，若总有f（x）≥0，则ax³-3x+1≥0，a≥

3

x2

-

1

x3

，令g（x）=

3

x2

-

1

x3

，利用导数的性质能求出a的取值范围．

解答：解：①当x=1时，f（x）=a-3+1≥0，解得a≥2．
②当x＞1时，若总有f（x）≥0，则ax³-3x+1≥0，
∴a≥

3

x2

-

1

x3

，
令g（x）=

3

x2

-

1

x3

，g^′（x）=

-6

x3

+

3

x4

=

-6(x- 1 2 )

x4

，
当x＞1时，g^′（x）＜0．
∴g（x）在x＞1时是减函数，
∴g（x）＜g（1）=2．
∴a的取值范围为[2，+∞）．
故选A．

点评：本题考查了含参数的函数在闭区间（含0）上恒成立问题，既可以对自变量x进行分类讨论，也可对参数a分类讨论，求出答案．