Question

【题目】已知椭圆的短轴长为，离心率为。

（1）求椭圆的标准方程;

（2）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意可得：2b＝4，，a2＝b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的标准方程．（2）A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x＝my﹣1，M（），（＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（）．由根据对称性可得：.直线方程与椭圆方程联立化为：（8m2+9）y2﹣16my﹣64＝0，根据根与系数的关系及其，得0，联立解得m．

（1）由题意，得，.

又，∴，，.

∴椭圆C的标准方程为

（2）由（1），可知，，.

据题意，直线的方程为

记直线与椭圆的另一交点为，设，.

∵，根据对称性，得.

联立，

消去，得，其判别式，

∴，.①

由，得，即.②

由①②，解得，

∵，∴.

∴.∴.

∴直线的方程为，即.