【题目】已知函数(为常数)的图象在处的切线方程为.
(1)判断函数的单调性;
(2)已知,且,若对任意,任意, 与中恰有一个恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减.(2)
【解析】试题分析:(1)先求函数的定义域,利用列方程组,可求得,代回函数的导函数可得函数导数恒小于零,故函数在定义域上递减.(2)由(1)知函数在上的最小值为,最大值为,故原不等式等价于或,分离常数得,或对任意恒成立,利用导数求得的最大值,利用二次函数求最值的方法求得的最小值,由此可求得的取值范围.
试题解析:(1)∵函数的定义域为,
∴,由条件得,
把代入得,∴,即, .
∴, .
∵,∴,∴在上单调递减.
(2)由(1)知, 在上单调递减,
∴在上的最小值为,最大值为,
∴只需或,
即或对任意恒成立.
令,则,
令得,而恒成立,
∴当时, , 单调递减;当时, , 单调递增.
∴的最大值为.而, ,显然,
∴在上的最大值为,又,
∴或,即或.
∴实数的取值范围是.
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【题目】某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示.
(1)求甲、乙两名运动员得分的中位数;
(2)你认为哪位运动员的成绩更稳定?
(3)如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙的得分的概率.
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【题目】某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式近似满足P= ,商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式近似满足Q=﹣t+40(1≤t≤30,t∈N).
(1)求这种商品日销售金额y与时间t的函数关系式;
(2)求y的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.
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【题目】某厂商为了解用户对其产品是否满意,在使用产品的用户中随机调查了80人,结果如下表:
(1)根据上述,现用分层抽样的方法抽取对产品满意的用户5人,在这5人中任选2人,求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率;
(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关?请说明理由.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
注:
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【题目】某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.
(Ⅰ)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;
(Ⅱ)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的占,求, 的值;
(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点代替,记为该居民用户1月份的用电费用,求的分布列和数学期望.
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【题目】甲、乙、丙三名学生参加某电视台举办的国学知识竞赛,在本次竞赛中只有过关和不过关两种结果,假设甲、乙、丙竞赛过关的概率分别为,且他们竞赛过关与否互不影响.
(1)求在这次国学知识竞赛中,甲、乙、丙三名学生至少有一名学生过关的概率;
(2)记在这次国学知识竞赛中,甲、乙、丙三名学生过关的人数为,求随机变量的分布列和数学期望
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【题目】某种水果的单个质量在500g以上视为特等品.随机抽取1000个该水果,结果有50个特等品.将这50个水果的质量数据分组,得到下边的频率分布表.
(1)估计该水果的质量不少于560g的概率;
(2)若在某批水果的检测中,发现有15个特等品,据此估计该批水果中没有达到特等品的个数.
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【题目】已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.
(1)求的值;
(2)求的单调区间;
(3)设,其中为的导函数.证明:对任意,.
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