Question

【题目】对数列{an}，如果k∈N*及λ1 ， λ2 ， …，λk∈R，使an+k=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+…+λkan成立，其中n∈N* ， 则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列；
②若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；
③若数列{an}的通项公式为 ，则{an}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵{an}是等比数列，

∴an= ，an+1=qan，

∴k=1，λ=q，使an+k=qan+k﹣1成立，

∴{an}为1阶递归数列，故①成立；②∵{an}是等差数列，

∴an=a1+（n﹣1）d，

∴k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使an+2=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2成立，

∴{an}为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{an}的通项公式为 ，

∴k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使an+3=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+λ3an+k﹣3成立，

∴{an}为3阶递归数列，故③成立．

故选D．

【考点精析】利用复合命题的真假对题目进行判断即可得到答案，需要熟知“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．