Question

已知函数f（x）=2x-sinx，若对任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立，则实数x的取值范围是________．

Answer 1

（-3，1）
分析：由题意可知f（x）=2x-sinx为奇函数，由f′（x）=2-cosx＞0可判断其单调性，从而可求对任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立时实数x的取值范围．
解答：解；∵f（-x）=-2x-sin（-x）=-（2x-sinx）=-f（x），
∴f（x）=2x-sinx为奇函数；
又f′（x）=2-cosx＞0，
∴f（x）=2x-sinx为R上的增函数．
∴对任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立
?对任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）＜f（-2x）恒成立
?tx-3＜-2x恒成立，t∈[-3，1]
?tx+2x-3＜0恒成立，t∈[-3，1]．
令g（t）=tx+2x-3，则，即，
解得：-3＜x＜1．
∴实数x的取值范围是（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数的奇偶性与单调性，突出转化思想与构造函数思想的综合应用，属于中档题．