Question

设函数f（x）=x²﹣2（﹣1）^klnx（k∈N*）．f'（x）是f（x）的导函数．
（1）当k为偶数时，正项数列{a_n}满足：．证明：数列中任意不同三项不能构成等差数列；
（2）当k为奇数时，证明：当x＞0时，对任意正整数n都有[f'（x）]ⁿ﹣2^n﹣1f'（x）≥2ⁿ（2ⁿ﹣2）成立．

Answer 1

证明：（1）当k为偶数时，f（x）=x²﹣2lnx，
f'（x）=2x﹣=，f'（a_n）=
由已知，得出2（﹣1）=﹣3，
∴+1=2（+1），数列{+1}是以2为公比，以=2为首项的等比数列．
∴+1=22n﹣1=2n，=2n﹣1，
假设数列中存在不同三项构成等差数列，
不妨设r＜s＜t，则，
即2（2^s﹣1）=2^r﹣1+2^t﹣1，2^s+1=2^r+2^t，2^s﹣r+1=1+2^t﹣r又s﹣r+1＞0，t﹣r＞0，
∴2^s﹣r+1为偶数，1+2^t﹣r为奇数，矛盾．故假设不成立．
因此数列中任意不同三项不能构成等差数列．
（2）当k为奇数时，f（x）=x²+2lnx，f'（x）=2x+=2（），
即证﹣2^n﹣12（）≥2ⁿ（2ⁿ﹣2）
即证﹣（）≥2ⁿ﹣2．
数学归纳法
当n=1时，左边=0，右边=0，不等式成立．
设当n=k（k≥1）时成立．即﹣（）≥2^k﹣2成立，
则当n=k+1时，﹣（）=﹣（）
≥[（2^k﹣2）+（）]﹣（）
=（2^k﹣2）++x^k﹣1+﹣（）
=（2^k﹣2）+x^k﹣1+
≥（2^k﹣2）2+2
=2^k+1﹣2
即当n=k+1时不等式成立．
综上所述，对任意正整数n不等式成立．