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(2004•武汉模拟)(理科)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,一条经过点(3,-
5
)且方向向量为
V
=(-2,
5
)
的直线l交椭圆C于A、B两点,交x轴于M点,又
AM
=2
MB

(1)求直线l方程;  
(2)求椭圆C长轴长取值的范围.
分析:(1)由条件:一条经过点(3,-
5
)且方向向量为
V
=(-2,
5
)
,可得直线的斜率,进而可求直线l方程; 
(2)将直线与椭圆方程联立,利用
AM
=2
MB
.可得几何量之间的关系,借助于直线l交椭圆C于A、B两点,从而有判别式大于0,故可求椭圆C长轴长取值的范围.
解答:解:(1)直线l过点(3,-
5
)且方向向量为
V
=(-2,
5
)
l方程为
x-3
-2
=
y+
5
5

化简为:y=-
5
2
(x-1)
…(4分)

(2)设直线y=-
5
2
(x-1)和椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1

交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),和x轴交于M(1,0)
AM
=2
MB
y1=-2y2
…(7分)
x=-
2
5
y+1代入b2x2+a2y2=a2b2中得(
4
5
b2+a2)y2-
4
5
b2y+b2(1-a2)=0
…①
由韦达定理知:
y1+y2=
4
5
b2
4
5
b2+a2
=-y2
y1y2=
b2(1-a2)
4
5
b2+a2
=-2
y
2
2

由②2/③知:32b2=(4b2+5a2)(a2-1)…(10分)
化为4b2=
5a2(a2-1)
9-a2
…④
对方程①求判别式,且由△>0,即△=(
4
5
b2)2-4(
4
5
b2+a2)•b2(1-a2)>0

化简为:5a2+4b2>5…⑤
由④式代入⑤可知:5a2+
5a2(a2-1)
9-a2
>5,求得1<a2<9

又椭圆的焦点在x轴上,则a2>b2,由④知:4b2=
5a2(a2-1)
9-a2
<4a2,结合1<a<3,求得1<a<
41
3

因此所求椭圆长轴长2a范围为(2,
2
41
3
)
点评:本题以椭圆为载体,考查直线与椭圆的位置关系,关键是直线与椭圆方程的联立,利用韦达定理可解.
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x2
9
-
y2
m
=1
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5
3
x
,则双曲线焦点F到渐近线l的距离为(  )

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1
4
,则tanα
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13
7
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5
3
,求

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