Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+

3

asinC-b-c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为

3

，证明△ABC是正三角形．

Answer 1

分析：（1）根据acosC+

3

asinC-b-c=0，由正弦定理可得sinAcosC+

3

sinAsinC=sinB+sinC，化简可求A；
（2）利用三角形的面积公式及余弦定理，即可证得结论．

解答：（1）解：∵acosC+

3

asinC-b-c=0
∴由正弦定理可得sinAcosC+

3

sinAsinC=sinB+sinC
∴sinAcosC+

3

sinAsinC=sin(A+C)+sinC
∴

3

sinA-cosA=1
∴sin（A-30°）=

1

2

∴A-30°=30°，∴A=60°；
（2）证明：∵△ABC的面积为

3

，
∴

1

2

bcsinA=

3

∴bc=4
∵a=2
∴由余弦定理可得：4=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-12
∴b+c=4
∵bc=4
∴b=c=2
∴a=b=c
∴△ABC是正三角形．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．