Question

10．已知函数f（x）=2x³-x²+ax+1-a²在（-∞，+∞）上是增函数，若函数的零点属于区间（0，1），求实数a的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 利用导函数的函数值非负，结合零点定理推出结果即可．

解答 解：函数f（x）=2x³-x²+ax+1-a²，
可得f′（x）=6x²-2x+a．
函数f（x）=2x³-x²+ax+1-a²在（-∞，+∞）上是增函数，
可得f′（x）≥0，即6x²-2x+a≥0在R恒成立，
4-24a≤0．
解得a$≥\frac{1}{6}$．
函数的零点属于区间（0，1），
可得$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-{a}^{2}＜0\\ 2+a-{a}^{2}＞0\end{array}\right.$，
解得1＜a＜2，
综上a∈（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查函数的对数的应用，函数的零点的应用，考查转化思想以及计算能力．