Question

7．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点，则异面直线D₁E与AC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D₁E与AC所成角的余弦值．

解答 解：如图，建立空间直角坐标系，
则A（4，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，4），E（0，4，2），
$\overrightarrow{AC}$=（-4，4，0），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（0，4，-2）．

cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{D}_{1}E}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{{D}_{1}E}|}$=$\frac{16}{\sqrt{32}×\sqrt{20}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴异面直线D₁E与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．